Alpha - Epsilon
1 Doel
- Het opstellen van een energiebalans en het begrijpen van de verschillende termen hierin.
- Bepaling overdrachts- en emissie-coefficient (α en ε)
- Het maken van een MathCad programma.
2 Theorie
In dit experiment komen de begrippen warmtegeleiding, stroming en straling aan de orde.
Het model
Veronderstellen we een homogene kubus van een bepaald materiaal (zie figuur 1). Aan de kubus wordt een constante warmtestroom Φtoe toegevoerd (stationair). In het experiment is een en ander verwezenlijkt door een holle koperen cilinder, waarin een weerstandsdraad.
Figuur 1: Model warmte-overdracht
Bij een constante warmtestroom Φtoe constateren we :
a. De temperatuur van het voorwerp Ti neemt toe.
b. Het voorwerp staat warmte af aan de omgeving.
Bij de uitvoering van het experiment zal een en ander worden betigd, door registratie van de temp.-tijd-curve. Welnu, allereerst stellen we de energie-balans op van het zojuist beschreven model. Vervolgens lossen we deze energie-balans numeriek op. Deze oplossing levert een temperatuur-tijd-curve.
Door aanpassing van de parameters α en ε proberen we de beste "fit" met het experimenteel bepaalde temperatuurverloop te bepalen ("trial and error"). De bijbehorende α- en ε-waarden zijn dan een redelijke benadering van de werkelijke waarden.
De energie-balans
Bij het opstellen van de energie-balans doen we de volgende aannamen:
1. We nemen aan, dat de warmte-geleidingscoëfficiënt λ van het voorwerp erg groot is (λ = ∞).
In dat geval geldt, dat het voorwerp een uniforme temperatuur Ti heeft.
2. We veronderstellen de begintemperatuur van het voorwerp Ti0 gelijk aan de omgevingstemperatuur Tu. (Ti0 = Tu)
3. We veronderstellen de toegevoerde warmtestroom Φtoe constant (Φtoe = const.)
4. We veronderstellen, dat de warmte-afgifte door het voorwerp slechts plaatsvindt door:
- stroming: convectie van de omringende lucht rond de koperen staven, bepaald o.a. door de warmte-overdrachtscoëfficiënt α.
- straling: Bepaald o.a. door de emissiecoëfficiënt ε.
Een deel van de toegevoerde warmtestroom Φtoe neemt het voorwerp op: Φop, hierdoor neemt de inwendige temperatuur Ti toe. De rest wordt afgestaan aan de omgeving: Φaf.
Φtoe = Φop +Φaf 1
De temperatuurstijging van het voorwerp berekenen we met behulp van de opgenomen
warmte:
Qop = m.c.(Ti -Ti0 ) 2
m: massa (kg)
c: soortelijke warmte (J/kg.K)
Ti0: begintemperatuur (K)
Met Ti0 =Tu =constant, schrijven we voor Φop:
Φop = dQop / dt = m.c.dTi / dt 3
De warmtestroom naar de omgeving Φaf splitsen we in twee termen. Een term beschrijft de warmtegeleiding, de ander de warmtestraling:
Φaf =A.α.(Ti-Tu)+A.σ12.[Ti4-Tu4] 4
A: oppervlak voorwerp (m2)
σ12: gecombineerd stralingsgetal (W/m2.K4)
Substitutie van formule (3) en (4) in (1) levert:
DE ENERGIE-BALANS
Φtoe = m.c.(dTi / dt) + A.α.(Ti -Tu )+ A.σ12 .[Ti4 -Tu4 ] 5
De meetopstelling
Figuur 2 toont een deel van de meetopstelling.
Figuur 2: De meetopstelling
Centraal in de opstelling staan een blanke -en een zwarte koperen staaf, waarin een weerstandsdraad is aangebracht. Meten we de spanning U over de draad en de stroom I door de draad, dan berekenen we daarmee de toegevoerde warmtestroom:
Φtoe = U.I 6
De temperatuur Ti van de resp. staven wordt met behulp van een thermokoppel (chromel-
alumel) op een X-t-recorder geregistreerd. Tenslotte merken we op, dat beide koperen staven worden omhuld door een perspex cilinder. Op deze manier vindt de luchtstroming rond de koperen staven slechts door de warmtebeweging plaats (convectie).
Het gegeven, dat de diameter van de perspex omhullings-cilinder veel groter is dan de diameter van de koperen staven maakt, dat we de stralingsterm uit de energie-balans (formule 5) nader beschouwen:
(Φaf )straling = A.σ12.[Ti4-Tu4] 7
De koperen staven en de omhullende perspex cilinder beschouwen we als "elkaar omsluitende oppervlakken". Het gecombineerd stralingsgetal schrijven we dan als:
ofwel:
σ12 =1 / ((1 / σ1) + (A1 / A2) . ((1 / σ2) - (1 / σz))) 8
A1: oppervlak koperen staaf (m2)
A2: oppervlak perspex cilinder (m2)
σ1: stralingsgetal koperen staaf (W/m2.K4)
σ2: stralingsgetal perspex cilinder (W/m2.K4)
σz: stralingsgetal "zwarte straler"
σz = 5,75.10^-8 (W/m2.K4)
Zoals net opgemerkt is het oppervlak (A2) van de perspex cilinder vele malen groter dan het oppervlak (A1) van de koperen staven. Met dit gegeven benaderen we formule 9:
σ 12 = σ 1 9
ofwel
σ 12 = σ 1 = ε .σ z 10
ε: emissie-coëfficiënt koperen staaf (-)
Substitutie van formules 6 en 10 in de energiebalans van formule 5 geeft uiteindelijk:
ENERGIE-BALANS
U.I = m.c.(dTi / dt) + A.α.(Ti -Tu )+ A.ε.σ z .[Ti^4 -Tu^4 ] 11
ofwel:
Ptoe = Popwarmen + Pconvectie + Pstraling 12
Welnu, de energie-balans (1e orde differentiaal-vergelijking) volgens formule 11, wordt numeriek opgelost met behulp van MathCad (methode van Euler).
Belangrijkste materiaalgegevens: de staaf is samengesteld uit een koperen pijp met twee messing sluitdoppen.
Koperen pijp: massa m = 0.1284 (kg)
soort. warmte c = 383 (J/kg.K)
Messing sluitdop: massa m = 0,0212 (kg)
soort. warmte c = 385 (J/kg.K)
Oppervlakte staaf: A = 0,0168 (m^2)
Thermokoppel: chromel-alumel
thermo-spanning: 41 (μV/K)
Uitvoering
Bij de uitvoering van dit experiment wordt van elke staaf een temperatuur-registratie gemaakt. Bouw onderstaande schakeling:
Figuur 3. De meetschakeling
De weerstanden R1 resp. R2 staan voor de blanke resp. zwarte koperen staaf. In beide staven werd m.b.v. een "weerstandsdraad" (constantaan) een identieke weerstand aangebracht, dus geldt:
R1 = R2 13
Voorts geldt:
I tot = I 1 + I 2 14
Dus de stroom door elke staaf berekenen we volgens:
I 1 = I 2 = 1⁄2 I tot 15
Toegevoerde warmtestroom per staaf Φtoe:
Φtoe=U.I ≈12(Watt) 16
Meet de spanning over-en de stroom door beide koperen staven.
Thermokoppel:
De temperatuur van de koperen staven wordt m.b.v. Chromel-Alumel-
thermokoppels gemeten (41 μV/K). Als referentie-temperatuur geldt de omgevingstemperatuur (Tu). Deze omgevingstemperatuur wordt tijdens het experiment regelmatig afgelezen.
Recorder:
De recorder is een tweekanaals-recorder, zodat gelijktijdig twee signalen kunnen worden vastgelegd. De thermokoppels van zwarte en blanke staaf worden op het A-en B- kanaal van de recorder aangesloten. De papier-transportsnelheid wordt op een redelijke waarde ingesteld.
Afschatten van α
Zoals reeds eerder vermeld maken we gebruik van MathCad bij de verwerking van de meetresultaten. Hier wordt de energie-balans uit formule (11) opgelost op. Door vergelijking van het berekend temperatuur-verloop (numerieke oplossing) met de experimenteel bepaalde temperatuur-tijd-curve (x-t-recorder), proberen we door aanpassing ("trial en error") van α en ε een zo goed mogelijke "fit" van de theorie met het experiment te verkrijgen. Bij de juiste "fit" hebben we α en ε bepaald.
Het zal duidelijk zijn, dat bij twee onbekende parameters in de energie-balans (α en ε) het aantal combinatie-mogelijkheden groot is. Om dit aantal te beperken maken we een beginschatting van de in te voeren waarden voor α en ε.
Hiertoe beschouwen we de blanke koperen staaf als een "volkomen witte straler", dus ε=0.
In het geval ε=0 schrijven we de energie-balans volgens formule (11) in vereenvoudigde vorm:
U.I = m.c.(dTi / dt) + A.α.(Ti -Tu ) 17
Randvoorwaarden:
t=0: Ti=Tu (staaftemp.=omgevingstemp.)
t→∞: Ti=Te (Te: eindtemp. van de staaf in stationaire toestand)
Bovenstaande 1e orde differentiaal-vergelijking heeft bij de gegeven randvoorwaarden als oplossing:
Ti=Tu+(Te-Tu).(1-e^(-t/τ)) 18
Met als tijdconstante:
τ = (m.c / α.A) 19
In figuur 4 is deze oplossing grafisch als functie van de tijd weergegeven.
Figuur 4: Temperatuur-tijd-curve voor ε=0 ("witte straler").
Figuur 4 illustreert duidelijk hoe de temperatuur Ti van de koperen staaf aanvankelijk toeneemt, het dynamisch gedrag om vervolgens in een stationaire, statische toestand over te gaan, waarin de staaf zijn uiteindelijke eindtemperatuur Te heeft bereikt.
Bij een afschatting van α kan zowel het dynamisch-als statisch gedeelte worden gebruikt. Wij gebruiken het statisch gedeelte:
In het geval de temperatuur Ti van het voorwerp zijn stationaire eindwaarde Te bereikt, wordt alle toegevoerde warmte direct ook weer aan de omgeving afgestaan.
In dat geval schrijven we de energie-balans voor een "witte straler" (formule 17) eenvoudig als:
U.I = A.α.(Te -Tu ) 20
Met behulp van formule 20 én de meetresultaten zijn we nu in staat een afschatting voor α
te bepalen.
In het Mathcad programma voeren we in eerste instantie de afschatting voor α in, zoals boven bepaald. In het geval van de blanke koperen staaf kiezen we allereerst voor ε=0,1, voor de zwarte staaf ε=1.
Door in het Mathcad programma de α-en ε-waarden te variëren rond bovengenoemde waarden, moet gezocht worden naar de beste "fit".
Opdrachten
Gegevens buisjes
Koper Messing Samen
Massa m 128.4 42.4 170.8 g
Dichtheid ρ 8960 8500 8845.807963 Kg/m^3
Soortelijke warmte c 387 381 385.5105386 J/kg/K
warmte geleidingscoefficient 390 120 322.9742389 W/m/K
Gegevens schakeling
Bron 1 Bron 2
Spanning (U) 7.5 7.5 11.97 V
Stroom (I) 1.271186441 1.271186441 0.105 A
Vermogen (P) 9.533898305 9.533898305 1.25685 W
Weerstand ® 5.9 5.9 Ω
Omg. Temp (Tu) 22.2 22.2 - K
Bereik Xt-rec. -
Snelheid Xt-rec. -
t (min) T1 (K) U1 (mV) T2 (K) U2 (mV)
1 295.2 0 295.2 0
2 301.7 0.25 303 0.3
3 313.4 0.7 318.6 0.9
4 319.9 0.95 331.6 1.4
5 326.4 1.2 339.4 1.7
6 330.3 1.35 345.9 1.95
7 334.2 1.5 351.1 2.15
8 336.8 1.6 353.7 2.25
9 338.1 1.65 357.6 2.4
10 339.4 1.7 358.9 2.45
11 340.18 1.73 360.72 2.52
12 341.48 1.78 362.54 2.59
13 342 1.8 363.32 2.62
14 342.52 1.82 364.62 2.67
15 343.04 1.84 365.4 2.7
16 343.3 1.85 366.18 2.73
17 343.56 1.86 366.7 2.75
18 343.82 1.87 367.22 2.77
19 344.34 1.89 368 2.8
20 344.6 1.9 368.26 2.81
21 345.12 1.92 368.52 2.82
22 345.38 1.93 368.78 2.83
Waarom wordt de afschatting α gedaan aan de hand van de gegevens van de blanke staaf? (motivatie)
De blanke staaf, die als een volkomen witte straler beschouwd wordt, verliest geen warmte door straling. Bij een blanke staaf hoef je dus geen rekening te houden met warmteverlies door straling.
Bereken met de gegevens op de recorder-uitdraai de afschatting α.
Met behulp van formule 20 en de meetresultaten zijn we in stat een afschatting voor α te bepalen.
Formule 20 invullen geeft:
7.5 * 1.27 = 0.0168 * α * (368.78-295.2)
Hieruit volgt:
α = (0.0168 * 73.5
/ (7.5 * 1.27) = 0.1298
Veronderstel dat de blanke staaf een stationaire eindtemperatuur Te=120 (0C) bereikt. De omgevingstemperatuur Tu=20 (0C). De recorder heeft als meetbereik de keuze uit: 2, 5 en 10 (mV).
Welk meetbereik kies je in het geval de registratie zo gevoelig mogelijk moet gebeuren én tijdens de meting niet mag worden omgeschakeld? (motivatie + berekening)
Zo laag mogelijk, 2mV dus. Dan is de uitslag zo groot mogelijk. De grafiek verschuift dan namelijk al een heel hokje per 2mV op. Zolang het papier maar breed genoeg is deze dus het beste.
Waarom kan formule (17) naar (20) worden vereenvoudigd, in het geval de eindtemperatuur Te is bereikt?
dt in formule 17 is dan oneindig groot. Deze waarde wordt dan nagenoeg nul, verwaarloosbaar dus.